9437. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны 1. Точка M
— середина ребра BC
. Найдите расстояние от точки M
до плоскости AB_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{7}
.
Решение. Пусть M_{1}
— середина ребра B_{1}C_{1}
, MH
— высота прямоугольного треугольника AMM_{1}
, опущенная на гипотенузу AM_{1}
. Тогда MH
— перпендикуляр к плоскости AB_{1}C_{1}
, так как MH\perp AM_{1}
и MH\perp B_{1}C_{1}
. Значит, расстояние от точки M
до плоскости AB_{1}C_{1}
равно длине отрезка MH
.
Далее находим, что
AM=\frac{\sqrt{3}}{2},~AM_{1}=\sqrt{AM^{2}+MM_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+1}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Следовательно (см. задачу 1967),
MH=\frac{AM\cdot MM_{1}}{AM_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(д), с. 35