9438. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны 1. Точка M
— середина ребра BC
. Найдите расстояние от точки M
до прямой AC_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{30}}{8}
.
Решение. Расстояние от точки M
до прямой AC_{1}
равно высоте MH
треугольника AC_{1}M
, опущенной на сторону AC_{1}
. Поскольку CM\perp AM
, то по теореме о трёх перпендикулярах C_{1}M\perp AM
, значит, треугольник AC_{1}M
прямоугольный с прямым углом при вершине M
. Далее находим, что
AM=\frac{\sqrt{3}}{2},~AC_{1}=\sqrt{2},~MC_{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Следовательно (см. задачу 1967),
MH=\frac{AM\cdot MC_{1}}{AC_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}}{8}.