9443. Основания ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
шестиугольной призмы — правильные шестиугольники. Объём призмы равен 1. Найдите объёмы частей, на которые призма разбивается плоскостью, проходящей через точки B
, C
и A_{1}
.
Ответ. \frac{1}{9}
; \frac{7}{9}
.
Решение. Диагонали A_{1}D_{1}
, B_{1}E_{1}
и C_{1}F_{1}
правильного шестиугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
пересекаются в его центре O_{1}
и разбивают шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников, причём A_{1}D_{1}\parallel B_{1}C_{1}
.
Секущая плоскость проходит через прямую BC
, параллельную основанию A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, и имеет с основанием общую точку A_{1}
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость этого основания по прямой, параллельной BC
(см. задачу 8003), т. е. по прямой A_{1}D_{1}
. Следовательно, сечения призмы данной плоскостью — трапеция ABCD
.
Пусть объём призмы равен V
, площадь основания равна S
, высота призмы равна h
. Пусть прямые BC
и DE
пересекаются в точке K
, а прямые B_{1}C_{1}
и D_{1}E_{1}
— в точке K_{1}
. Рассмотрим параллелепипед ABKDA_{1}B_{1}K_{1}D_{1}
. Его объём равен сумме объёмов четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и треугольной призмы CKDC_{1}K_{1}D_{1}
, т. е. \frac{1}{2}V+\frac{1}{6}V=\frac{2}{3}V
.
Секущая плоскость разбивает данную шестиугольную призмы на два многогранника. Рассмотрим тот из них, который содержит вершину B_{1}
. Его объём равен разности объёмов треугольной призмы ABA_{1}DKD_{1}
с основаниями ABA_{1}
и DKD_{1}
и четырёхугольной пирамиды D_{1}CKK_{1}C_{1}
, т. е.
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}V-\frac{2}{3}S_{\triangle CKD}h=\frac{1}{3}V-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}Sh=\frac{1}{3}V-\frac{1}{9}V=\frac{2}{9}V=\frac{2}{9}.
Следовательно, объём оставшейся части данной призмы равен
1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}.