9444. Объём треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равен 1. Найдите объём общей части пирамид ABCB_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}B
.
Ответ. \frac{1}{12}
.
Решение. Пусть объём призмы равен V
, высота призмы равна h
, а M
и N
— центры боковых граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
соответственно. Тогда общая часть пирамид ABCB_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}B
есть треугольная пирамида B_{1}BMN
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{B_{1}BMN}=\frac{B_{1}M}{B_{1}A}\cdot\frac{B_{1}N}{B_{1}C}V_{B_{1}ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}h=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V=\frac{1}{12}.