9445. Дан правильный тетраэдр с ребром a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центры трёх его граней.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}
.
Решение. Пусть M
, K
и N
— центры граней соответственно ABC
, BCD
и ABD
правильного тетраэдра ABCD
, а P
и Q
— середины рёбер соответственно AB
и BC
.
Поскольку DN:NP=DK:KQ=2:1
, прямая NK
параллельна PQ
. Значит, прямая NK
параллельна плоскости ABC
. Секущая плоскость проходит через прямую NK
, параллельную плоскости ABC
и имеет с плоскостью ABC
общую точку M
, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой l
, параллельной NK
, а значит, и PQ
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает рёбра AB
и BC
в точках E
и F
соответственно, а T
— середина AC
. Тогда
BE:AB=BF:BC=BM:BT=2:3.
Аналогично получим, что секущая плоскость пересекает ребро BD
в точке L
, для которой BL:BD=2:3
. Значит, сечение тетраэдра плоскостью MKN
— треугольник ELF
, подобный треугольнику ADC
с коэффициентом \frac{2}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle ELF}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}S_{\triangle ADC}=\frac{4}{9}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(д), с. 61