9451. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники. Точка M
— середина ребра CC_{1}
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей D_{1}ME_{1}
и ABC
.
б) В каком отношении плоскость D_{1}ME_{1}
делит диагональ EB_{1}
призмы?
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Пусть прямые D_{1}M
и BC
, лежащие в плоскости CC_{1}D_{1}D
, пересекаются в точке K
. Тогда CK=C_{1}D_{1}=CD
, а так как \angle BCK=60^{\circ}
, то треугольник BCK
равносторонний, поэтому точки A
, B
и K
лежат на одной прямой. С другой стороны, плоскость D_{1}ME_{1}
проходит через прямую E_{1}D_{1}
, параллельную плоскости ABC
, и имеет с этой плоскостью общую точку K
. Тогда эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку K
параллельно E_{1}D_{1}
(см. задачу 8003), а значит, и AB
. Следовательно, эта прямая совпадает с прямой AB
, и указанные плоскости пересекаются по прямой AB
.
б) Плоскость D_{1}ME_{1}
пересекается с плоскостью BB_{1}E_{1}E
по прямой BE_{1}
. Пусть прямые EB_{1}
и BE_{1}
лежащие в плоскости D_{1}ME_{1}
, пересекаются в точке P
. Тогда P
— точка пересечения прямой EB_{1}
с плоскостью D_{1}ME_{1}
, а так как P
— точка пересечения диагоналей параллелограмма BB_{1}E_{1}E
, то P
— середина EB_{1}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.22, с. 13