9452. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники. Точка M
— середина ребра CC_{1}
, O
— центр грани ABCDEF
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M
, O
и E_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро EF
?
Ответ. 1:2
, считая от точки F
.
Решение. а) Четырёхугольник OCD_{1}E
— параллелограмм, так как OC=E_{1}D_{1}
и OC\parallel E_{1}D_{1}
, поэтому OE_{1}\parallel CD_{1}
. Плоскость MOE_{1}
проходит через прямую OE_{1}
, параллельную плоскости CC_{1}D_{1}D
и имеет с этой плоскостью общую точку M
, поэтому плоскость MOE_{1}
пересекает плоскость CC_{1}D_{1}D
по прямой, проходящей через точку M
параллельно OE_{1}
(см. задачу 8003), а значит, и CD_{1}
, т. е. по средней линии MN
треугольника CC_{1}D_{1}
.
Пусть K
— точка пересечения прямых MN
и CD
, а G
— точка пересечения прямых KO
и EF
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MLGE_{1}N
.
б) Положим CD=6a
. Из равенства треугольников CMK
и C_{1}MN
получаем, что
CK=NC_{1}=\frac{1}{2}C_{1}D_{1}=3a.
Треугольник CKL
подобен треугольнику DKO
, поэтому
CL:DO=KC:KD=3t:9t=1:3,
а так как GF=CL
(из равенства треугольников OFG
и OCL
), то
FG:GE=CL:GE=CL:BL=2t:4t=1:2.