9454. Точка M
— середина ребра AB
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую A_{1}M
параллельно прямой AC
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий точку B_{1}
с серединой ребре AC
?
Ответ. 2:1
, считая от точки B_{1}
.
Решение. а) Плоскость ABC
проходит через прямую AC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
, значит, плоскость ABC
пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через точку M
параллельно AC
(см. задачу 8003), т. е. по средней линии MN
треугольника ABC
. Следовательно, требуемое сечение — трапеция A_{1}MNC_{1}
с основаниями A_{1}C_{1}
и MN
.
б) Пусть K
и K_{1}
— середины рёбер AC
и A_{1}C_{1}
соответственно, L
— точка пересечения MN
и BK
. Тогда L
— середина медианы BK
треугольника ABC
.
Плоскости BB_{1}K_{1}K
и ABC
пересекаются по прямой K_{1}L
. Пусть P
— точка пересечения прямых K_{1}L
и KB_{1}
, лежащих в плоскости BB_{1}K_{1}K
. Тогда P
— точка пересечения прямой B_{1}K
с плоскостью A_{1}MNC_{1}
. Из подобия треугольников B_{1}PK_{1}
и KPL
получаем, что
B_{1}P:PK=B_{1}K:KL=B_{1}K:\frac{1}{2}BK=2:1.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.19, с. 12