9455. Дана четырёхугольная пирамида SABCD
, основание которой параллелограмм ABCD
. Точка M
— середина ребра SD
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BM
параллельно прямой AC
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий точку S
с центром параллелограмма ABCD
?
Ответ. 2:1
, считая от точки S
.
Решение. а) Плоскость ABCD
проходит через прямую AC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку B
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной AC
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекается с прямыми AD
и CD
в точках E
и F
соответственно, прямая ME
пересекает ребро SA
в точке K
, а прямая MF
пересекает ребро SC
в точке N
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник BKMN
.
б) Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, а прямые BM
и SO
, лежащие в плоскости BSD
, пересекаются в точке G
. Тогда G
— точка пересечения отрезка SO
с плоскостью BKMN
. В то же время, G
— точка пересечения медиан BM
и SO
треугольника BSD
. Следовательно, SG:GO=2:1
. BSD
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.18, с. 12