9456. Дана четырёхугольная пирамида SABCD
, основание которой параллелограмм ABCD
. Точка M
— середина ребра AB
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
параллельно прямым AC
и SB
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий точку D
с серединой ребра SB
?
Ответ. 3:1
, считая от точки D
.
Решение. а) Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
. Плоскость ABCD
проходит через прямую AC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной AC
(см. задачу 8003), т. е. по средней линии MN
треугольника ABC
, параллельной AC
. Пусть прямая MN
пересекается с прямыми AD
и CD
в точках E
и F
соответственно, а с прямой BD
— в точке K
. Тогда
BK=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}BD,~BK:KD=1:3.
Плоскость BSD
проходит через прямую SB
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку K
параллельно BS
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает ребро SD
в точке L
, прямая EL
пересекает ребро SA
в точке P
, а прямая FL
пересекает ребро SC
в точке Q
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MPLQN
.
б) Пусть G
— середина ребра SB
, а прямые BL
и DG
, лежащие в плоскости BSD
, пересекаются в точке H
. Тогда H
— точка пересечения отрезка DG
с секущей плоскостью. Прямые KL
и SB
параллельны, поэтому
DH:HG=BK:KD=1:3.