9458. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
треугольной пирамиды ABCD
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения медиан треугольника ABC
параллельно прямым AB
и CD
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок MN
?
Ответ. 1:2
, считая от точки M
.
Решение. а) Пусть K
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Плоскость ABC
проходит через прямую AB
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
. Значит, секущая плоскость пересекает грань ABC
по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно AB
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает рёбра AC
и BC
в точках E
и F
соответственно. Аналогично докажем, что секущая плоскость пересекает грань BCD
по прямой, проходящей через точку F
параллельно CD
, а грань ACD
— по прямой, проходящей через точку E
параллельно CD
. Пусть G
и H
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами BD
и AD
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник EFGH
, две противоположные стороны FG
и EH
равны и параллельны, т. е. параллелограмм.
б) Пусть секущая плоскость пересекает медиану DM
грани ADB
в точке L
, а прямые MN
и LK
, лежащие в плоскости CMD
пересекаются в точке P
. Тогда P
— точка пересечения отрезка MN
с секущей плоскостью. Отрезок MN
— медиана треугольника CMD
, а ML:LD=MP:PC=1:2
, следовательно, LK\parallel CD
и AP:PN=1:2
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.15, с. 12