9459. Точка M
— середина ребра AD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M
и B_{1}
, параллельно прямой A_{1}C_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ BD_{1}
параллелепипеда?
Ответ. 3:4
, считая от точки B
.
Решение. а) Секущая плоскость параллельна прямой A_{1}C_{1}
, а значит, и прямой AC
. Через прямую AC
, параллельную секущей плоскости, проходит плоскость ABCD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость ABCD
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно AC
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекает ребро CD
в точке N
, а прямые AB
и BC
— в точках E
и F
соответственно. Тогда MN
— средняя линия треугольника ADC
,
AE=DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB,~CF=MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC.
Пусть прямые EB_{1}
и AA_{1}
пересекаются в точке K
, а прямые FB_{1}
и CC_{1}
— в точке L
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник B_{1}KMNL
.
Из подобия треугольников AKE
и A_{1}KB_{1}
получаем, что
AK:KA_{1}=AE:A_{1}B_{1}=AE:AB=1:2.
Аналогично CL:LC_{1}=1:2
.
б) Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, P
— точка пересечения MN
и BD
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ADC
, то
DP=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{4}BD,~BP=\frac{3}{4}BD.
Пусть Q
— точка пересечения прямых BD_{1}
и PB_{1}
, лежащих в плоскости BB_{1}D_{1}D
. Тогда Q
— точка пересечения прямой BD_{1}
с плоскостью B_{1}KMNL
. Из подобия треугольников BQP
и D_{1}QB_{1}
находим, что
BQ:QD_{1}=BP:B_{1}D_{1}=BP:BD=\frac{3}{4}BD:BD=3:4.