9460. Точка M
— середина ребра AD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M
параллельно прямым BD
и CB_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ AC_{1}
параллелепипеда?
Ответ. 1:5
, считая от точки A
.
Решение. а) Секущая плоскость параллельна прямой CB_{1}
, а значит, и прямой DA_{1}
. Через прямую DA_{1}
, параллельную секущей плоскости, проходит плоскость AA_{1}D_{1}D
, имеющая с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость AA_{1}D_{1}D
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно DA_{1}
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекает ребро AA_{1}
в точке K
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ADA_{1}
, поэтому K
— середина ребра AA_{1}
.
Через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, проходит плоскость ABCD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость ABCD
по прямой m
, проходящей через точку M
параллельно BD
(см. задачу 8003).
Пусть прямая m
пересекает ребро AB
в точке N
. Тогда MN
— средняя линия треугольника ABD
, поэтому N
— середина ребра AB
.
Следовательно, требуемое сечение — треугольник KMN
, вершины которого — середины рёбер AA_{1}
, AD
и AB
.
б) Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, P
— точка пересечения MN
и AC
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABD
, то
AP=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{4}AC,~CP=\frac{3}{4}AC.
Пусть Q
— точка пересечения прямых AC_{1}
и KP
, лежащих в плоскости AA_{1}C_{1}C
. Тогда Q
— точка пересечения прямой AC_{1}
с плоскостью KMN
.
Пусть L
— точка пересечения прямых KP
и A_{1}C_{1}
. Из равенства треугольников A_{1}KL
и AKP
получаем, что
A_{1}L=AP=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{4}A_{1}C_{1}.
Тогда
LC_{1}=A_{1}L+A_{1}C_{1}=\frac{5}{4}A_{1}C_{1}.
Из подобия треугольников AQP
и C_{1}QL
находим, что
BQ:QC_{1}=AP:LC_{1}=\frac{1}{4}AC:\frac{5}{4}A_{1}C_{1}=\frac{1}{4}AC:\frac{5}{4}AC=1:5.