9461. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BF
параллельно ребру SA
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC
?
Ответ. 1:2
, считая от точки S
.
Решение. а) Пусть M
— точка пересечения диагоналей BF
и AD
правильного шестиугольника ABCDEF
, O
— центр шестиугольника. Тогда M
— середина OA
, поэтому AM:MD=1:3
.
Через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, проходит плоскость ASD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость ASD
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно SA
(см. задачу 8003). Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром SD
. Тогда SN:ND=AM:MD=1:3
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой BF
с прямыми CD
и DE
соответственно. Из прямоугольного треугольника CBP
с углом 30^{\circ}
при вершине P
получаем, что CP=2BC=2CD
. Аналогично EQ=2DE
.
Пусть K
— точка пересечения прямых NP
и SC
, а L
— точка пересечения прямых NQ
и SE
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник BKNLF
.
б) Пусть прямая, проведённая через точку C
параллельно PN
, пересекает ребро SD
в точке T
. Тогда
DT:TN=CD:CP=1:2,~DT=\frac{1}{3}ND,~NT=\frac{2}{3}ND,
а так как SN=\frac{1}{3}ND=DT
, то
SK:KC=SN:NT=DT:NT=1:2.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.12, с. 11