9462. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Точки M
и N
— середины рёбер BC
и EF
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MN
параллельно ребру SA
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC
?
Ответ. 1:2
, считая от точки C
.
Решение. а) Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Тогда O
— середина отрезка MN
.
Через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, проходит плоскость ASD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку O
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость ASD
по прямой l
, проходящей через точку O
параллельно SA
(см. задачу 8003). Пусть K
— точка пересечения прямой l
с ребром SD
. Тогда K
— середина ребра SD
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой MN
с прямыми CD
и DE
соответственно. Из прямоугольного треугольника CMP
с углом 30^{\circ}
при вершине P
получаем, что CP=2CM=BC=CD
. Аналогично EQ=DE
.
Пусть G
— точка пересечения прямых KP
и SC
, а L
— точка пересечения прямых KQ
и SE
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MGKLN
.
б) Заметим, что G
— точка пересечения медиан PK
и SC
треугольника DSP
. Следовательно, CG:GS=1:2
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.11, с. 11