9467. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
с центром O
. Точка M
— середина отрезка AO
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
параллельно прямым SA
и BD
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC
?
Ответ. 1:3
, считая от точки S
.
Решение. а) Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD
по прямой m
, проходящей через точку M
параллельно BD
(см. задачу 8003). Пусть K
и L
— точки пересечения прямой m
с рёбрами AB
и AD
соответственно, а P
и Q
— с прямыми соответственно BC
и CD
. Тогда KL
— средняя линия треугольника ABD
.
Плоскость ASC
проходит через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью ACS
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно BD
.
Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром SC
, прямая NP
пересекает ребро SB
в точке E
, а прямая NQ
пересекает ребро SD
в точке F
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник KLFNE
.
б) Точка M
— середина отрезка AO
, поэтому
AM=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{4}AC.
Из параллельности прямых MN
и SA
следует, что
SN:NC=AM:MC=AM:3AM=1:3.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.6, с. 10