9468. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
с центром O
. Точка M
лежит на отрезке SO
, причём OM:MS=1:2
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AM
параллельно прямой BD
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC
?
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Плоскость BSD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
, значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью BSD
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно BD
(см. задачу 8003). Пусть K
и N
— точки пересечения прямой l
с рёбрами SD
и SB
соответственно, а L
— точка пересечения прямых AM
и SC
, лежащих в плоскости ASC
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник AKLN
.
б) Точка M
лежит на медиане SO
треугольника ASC
и делит её в отношении 2:1
, считая от вершины S
, значит, M
— точка пересечения медиан треугольника ASC
. Тогда отрезок AL
, проходящий через точку M
, — также медиана этого треугольника. Следовательно, SL:LC=1:1
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.5, с. 10