9469. Точка M
— середина ребра CD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M
, A_{1}
и C_{1}
.
б) Пусть секущая плоскость пересекает прямую DD_{1}
в точке P
. Найдите отношение PD:PD_{1}
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Пусть прямые C_{1}M
и DD_{1}
, лежащие в плоскости CC_{1}D_{1}D
, пересекаются в точке P
, а прямые PA_{1}
и AD
, лежащие в плоскости AA_{1}D_{1}D
, — в точке N
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник A_{1}C_{1}MN
. При пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью образуются параллельные прямые (см. задачу 8009), поэтому четырёхугольник A_{1}C_{1}MN
— трапеция с основаниями A_{1}C_{1}
и MN
(причём A_{1}C_{1}=2MN
).
б) Из равенства треугольников PDN
и A_{1}AN
получаем, что PD=AA_{1}=DD_{1}
. Следовательно,
PD:PD_{1}=DD_{1}:(DD_{1}+PD)=DD_{1}:2DD_{1}=1:2.