9473. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B
, C
и середину отрезка, соединяющего вершину S
с центром основания.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды, M
— середина отрезка SO
. Плоскости ABCDEF
и BMC
проходят через параллельные прямые BC
, AD
и имеют общую точку M
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно AD
(см. задачу 8004). Пусть прямая l
пересекает рёбра SA
и SD
пирамиды в точках K
и L
соответственно. Тогда KL
— средняя линия треугольника ASD
, точки K
и L
— середины рёбер SA
и SD
соответственно.
Плоскости CSD
и ASF
проходят через параллельные прямые CD
, AF
и имеют общую точку S
, значит, они пересекаются по прямой m
, проходящей через точку S
параллельно CD
и AF
. Пусть G
— точка пересечения прямых m
и CL
, лежащих в плоскости CSD
. Тогда G
— точка пересечения прямой CL
с плоскостью ASF
, содержащей точку K
. Пусть прямые KG
и SF
, лежащие в плоскости ASF
, пересекаются в точке P
. Тогда P
— точка пересечения секущей плоскости с ребром SF
. Аналогично строится точка Q
пересечения секущей плоскости с ребром SE
.
Таким образом, требуемое сечение — шестиугольник BKPQLC
.
Пусть T
— точка пересечения прямых KG
и AF
. Из равенства треугольников SLG
и DLC
получаем, что SG=CD=AF
, а из равенства треугольников SKG
и AKT
— AT=SG=AF
. Значит, FT=2AF=2SG
. Из подобия треугольников GPS
и TPF
находим, что
SP:PF=SG:FT=SG:2SG=1:2.
Аналогично, SQ:QE=1:2
.