9474. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку B
и середины рёбер AS
и CS
.
Решение. Плоскости ASF
и CSF
имеют общую точку S
и проходят через параллельные прямые AF
и CD
соответственно. Значит, они пересекаются по некоторой прямой l
, проходящей через точку S
параллельно AF
и CD
(см. задачу 8004). Поскольку BE\parallel AF\parallel l
, плоскость BSE
тоже проходит через прямую l
.
Секущая плоскость проходит через прямую MN
, параллельную плоскости основания пирамиды, и имеет с плоскостью общую точку B
. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой m
, параллельной MN
, а значит, и прямой AC
.
Пусть прямая m
пересекает прямые AF
и CD
в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно. Тогда прямые A_{1}M
и C_{1}N
, лежащие в секущей плоскости, пересекают прямую l
в точке H
, а прямая BH
, лежащая в секущей плоскости, пересекает боковое ребро SE
в некоторой точке G
.
Пусть прямые A_{1}H
и SA
, лежащие в плоскости ASF
, пересекаются в точке P
. Тогда P
— точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SF
. Аналогично строится точка Q
пересечения секущей плоскости с боковым ребром SD
.
Таким образом, требуемое сечение — шестиугольник BKPQLC
.
Примечание. Пусть сторона основания пирамиды равна 2a
. Из равенства треугольников SNH
и CNC_{1}
получаем, что SH=CC_{1}=a
. Тогда из подобия треугольников SGH
и EGB
находим, что
\frac{SG}{GE}=\frac{SH}{BE}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4},
а из подобия треугольников SPH
и FPA_{1}
находим, что
\frac{SP}{PF}=\frac{SH}{FA_{1}}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}.
Аналогично, \frac{SQ}{QD}=\frac{1}{3}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(д), с. 10