9475. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A
, C
и середину ребра SD
.
Решение. Пусть M
— середина бокового ребра SD
, O
— точка пересечения диагоналей AC
и BE
основания пирамиды.
Плоскости ASF
и CSE
проходят через параллельные прямые AE
, CD
и имеют общую точку S
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку S
параллельно AE
и CD
(см. задачу 8004). Пусть прямые l
и CM
, лежащие в плоскости CSD
, пересекаются в точке H
, прямые SF
и AH
, лежащие в плоскости ASF
, пересекаются в точке N
, а прямые SE
и OH
, лежащие в плоскости BSE
, пересекаются в точке K
. Тогда N
и K
— точки пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами SF
и SE
соответственно.
Таким образом, требуемое сечение — пятиугольник ABKMC
.
Примечание. Из равенства треугольников HMS
и CMD
получаем, что
SH=CD=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}OE=\frac{2}{3}OE.
Тогда из подобия треугольников HKS
и OKE
находим, что
SK:KE=SH:OE=\frac{2}{3}OE:OE=2:3.
Очевидно, что SN:NF=SM:MD=1:1
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(г), с. 9