9478. Основание шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B
, C
и середину ребра DD_{1}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра DD_{1}
, P
— точка пересечения прямых CM
и C_{1}D_{1}
, лежащих в плоскости CC_{1}D_{1}D
. Из равенства треугольников MPD_{1}
и MCD
получаем, что
D_{1}P=CD=C_{1}D_{1}=D_{1}E_{1}.
Значит, треугольник D_{1}PE_{1}
равносторонний, поэтому PE_{1}\parallel B_{1}C_{1}
. Следовательно, точки P
, E_{1}
и F_{1}
лежат на одной прямой.
Секущая плоскость проходит через прямую BC
, параллельную плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, и имеет с этой плоскостью общую точку P
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой, проходящей через точку P
параллельно BC
(см. задачу 8003), т. е. по прямой E_{1}F_{1}
.
Пусть Q
— точка пересечения прямых E_{1}F_{1}
и A_{1}B_{1}
, лежащих в плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, а K
— точка пересечения прямых BQ
и AA_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
. Тогда требуемое сечение — шестиугольник BKF_{1}E_{1}MC
.
Примечание. Точка K
— середина ребра AA_{1}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(е), с. 9