9482. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра SA
и точки M
и N
рёбер соответственно SB
и SC
, если BM:MS=SN:NC=1:2
.
Решение. Пусть K
— середина ребра SA
. Плоскости BSC
и ASD
проходят через параллельные прямые BC
, AD
и имеют общую точку S
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку S
параллельно BC
и AD
(см. задачу 8004).
Пусть P
— точка пересечения прямых l
и MN
, лежащих в плоскости BSC
, а L
— точка пересечения прямых PK
и SD
, лежащих в плоскости ASD
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник MNLK
.
Примечание. Пусть E
— точка пересечения прямых MN
и BC
. Обозначим AD=BC=a
, BE=x
. Из подобия треугольников SMP
и BME
получаем, что CP=2BE=2x
, а из подобия треугольников SNP
и CNE
— CP=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}(x+a)
. Из равенства 2x=\frac{1}{2}(x+a)
находим, что x=\frac{a}{3}
. Следовательно, SP=2x=\frac{2a}{3}
.
Пусть F
— точка пересечения прямых PK
и AD
. Из равенства треугольников AKF
и SKP
получаем, что AF=SP=\frac{2a}{3}
, а из подобия треугольников SLP
и DLF
—
SL:LD=SP:DF=SP:(AD+AF)=\frac{2}{3}a:\frac{5}{3}a=2:5.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(з), с. 9