9483. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания, середину ребра SD
и точку M
ребра SA
, если AM:MS=1:3
.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, N
— середина ребра SD
, P
— точка пересечения прямых MN
и AD
, лежащих в плоскости ASD
, K
и L
— точки пересечения прямой PO
со сторонами соответственно AB
и CD
параллелограмма ABCD
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник MKLN
.
Примечание. По теореме Менелая для треугольника ASD
и прямой MN
(см. задачу 1622) получаем, что \frac{SM}{MA}\cdot\frac{AP}{PD}\cdot\frac{DN}{NS}=1
, или 3\cdot\frac{AP}{PD}\cdot1=1
, откуда \frac{AP}{PD}=\frac{1}{3}
. Значит, AP=\frac{1}{2}AD
.
Тогда из подобия треугольников APK
и DPL
получаем, что AK=\frac{1}{3}DL
, а из равенства треугольников BOK
и DOL
— BK=DL=3AK
. Следовательно, AK:KB=1:3
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(ж), с. 9