9484. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, AD
и SC
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины рёбер AB
, AD
и SC
соответственно, P
и Q
— точки пересечения прямой MN
с прямыми соответственно BC
и AD
, E
— точка пересечения прямых KP
и SB
, лежащих в плоскости BSC
, а F
— точка пересечения прямых KQ
и SD
, лежащих в плоскости CSD
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MEKFN
.
Примечание. Из равенства треугольников BMP
и AMN
получаем, что
BP=AN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC.
По теореме Менелая для треугольника BSC
и прямой KP
(см. задачу 1622) получаем, что \frac{SE}{EB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CK}{KS}=1
, или \frac{SE}{EB}\cdot\frac{1}{3}\cdot1=1
, откуда \frac{SE}{EB}=3
. Аналогично \frac{SF}{FD}=3
.