9490. Постройте сечение треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, A_{1}C_{1}
и CC_{1}
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины рёбер AB
, A_{1}C_{1}
и CC_{1}
соответственно, P
и Q
— точки пересечения прямой KN
с прямыми соответственно AA_{1}
и AC
, E
и D
— точки пересечения прямой PM
с прямой AB
и прямой QM
с прямой BC
соответственно. Тогда требуемое сечение — пятиугольник DKNEM
.
Примечание. Из равенства треугольников PA_{1}N
и KC_{1}N
получаем, что
PA_{1}=C_{1}K=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{1}{2}AA_{1}.
Треугольник PA_{1}E
подобен треугольнику PAM
с коэффициентом \frac{PA_{1}}{PA}=\frac{1}{3}
, поэтому
A_{1}E=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}A_{1}B_{1}.
Следовательно, \frac{A_{1}E}{EB_{1}}=\frac{1}{5}
.
Из равенства треугольников CKQ
и C_{1}KN
получаем, что
CQ=C_{1}N=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}AC.
Применив теорему Менелая к треугольнику ABC
и прямой MQ
(см. задачу 1622), получим, что
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AM}{MB}=1,~\mbox{или}~\frac{BD}{DC}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1,
откуда \frac{BD}{DC}=3
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3(г), с. 9