9507. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Все рёбра призмы равны a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра BB_{1}
параллельно прямым BA_{1}
и B_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{7}}{16}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра BB_{1}
. Плоскость AA_{1}B_{1}B
проходит через прямую BA_{1}
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно BA_{1}
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает ребро A_{1}B_{1}
в точке N
. Тогда N
— середина ребра A_{1}B_{1}
.
Аналогично получим, что секущая плоскость пересекает ребро CC_{1}
в его середине K
, а ребро A_{1}C_{1}
— в его середине L
. Таким образом, сечение, о котором говорится в условии задачи, — трапеция MNLK
с основаниями
MK=BC=a,~NL=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=\frac{a}{2}
и боковыми сторонами
KL=MN=\frac{1}{2}BA_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Пусть NH
— высота трапеции. Тогда
MH=\frac{MK-NL}{2}=\frac{a-\frac{a}{2}}{2}=\frac{a}{4},
NH=\sqrt{MN^{2}-MH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{7}}{4}.
Следовательно,
S_{MNLK}=\frac{MK+NL}{2}\cdot NH=\frac{a+\frac{a}{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{7}}{4}=\frac{3a^{2}\sqrt{7}}{16}.