9513. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через диагональ AC_{1}
параллельно прямой BD
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку A
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку A
параллельно BD
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекает прямые BC
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Тогда APBD
параллелограмм, поэтому BP=AD=BC
, т. е. точка B
— середина отрезка CP
. Аналогично, D
— середина CQ
.
Пусть M
— точка пересечения прямой C_{1}P
с ребром BB_{1}
, а N
— точка пересечения прямой C_{1}Q
с ребром DD_{1}
. Из равенства треугольников BMP
и B_{1}MC_{1}
получаем, что M
— середина ребра BB_{1}
. Аналогично, N
— середина ребра DD_{1}
.
Сечение, о котором говорится в условии задачи, — параллелограмм AMD_{1}N
, а так как AM=MC_{1}
(из равенства соответствующих прямоугольных треугольников), то это ромб. Следовательно,
S_{AMD_{1}N}=\frac{1}{2}BD\cdot AC_{1}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}.