9517. Основание ABCDEF
шестиугольной пирамиды SABCDEF
— выпуклый шестиугольник. Объём пирамиды равен 1. Найдите объём пирамиды, отсекаемой от данной плоскостью, проходящей через середину ребра SA
параллельно диагоналям AD
и CE
основания.
Ответ. \frac{1}{8}
.
Решение. Поскольку основание пирамиды — выпуклый шестиугольник, его диагонали AD
и CE
лежат на пересекающихся прямых. Из признака параллельности плоскостей (см. задачу 8008) следует, что секущая плоскость параллельна плоскости основания пирамиды. Значит, пирамида, отсекаемая от данной этой плоскостью, подобна данной. Поскольку секущая плоскость проходит через середину бокового ребра данной пирамиды, коэффициент подобия равен \frac{1}{2}
, следовательно, объём отсечённой пирамиды равен \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot1=\frac{1}{8}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(б), с. 71