9520. Объём треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равен 1. Найдите объёмы частей, на которые призма разбивается плоскостью, проходящей через вершины C
, A_{1}
и середину ребра BB_{1}
.
Ответ. \frac{1}{2}
и \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра BB_{1}
. Сечение призмы плоскостью, проходящей через вершины C
, A_{1}
и середину ребра BB_{1}
— треугольник A_{1}MC
.
Пусть площадь грани BB_{1}C_{1}C
равна S
, а расстояние от ребра AA_{1}
до плоскости этой грани равно d
. Тогда объём данной призмы равен \frac{1}{2}Sh
(см. задачу 7194).
Один из многогранников, на которые разбивается данная призма секущей плоскостью, — четырёхугольная пирамида A_{1}CMB_{1}C_{1}
с вершиной A_{1}
. Площадь основания CMB_{1}C
этой пирамиды равна \frac{3}{4}S
, а высота равна d
, значит, объём пирамиды равен
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}Sd=\frac{1}{4}Sd=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}Sd=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}.