9521. Объём треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равен 1. Найдите объёмы частей, на которые призма разбивается плоскостью, проходящей через вершины A
, B
и середину ребра A_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{7}{12}
и \frac{5}{12}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра A_{1}C_{1}
, прямые AM
и CC_{1}
, лежащие в плоскости AA_{1}C_{1}C
, пересекаются в точке P
, а прямые BP
и B_{1}C_{1}
, лежащие в плоскости BB_{1}C_{1}C
, — в точке M
. Тогда сечение призмы указанной плоскостью — трапеция ABNM
с основаниями AB
и MN
(см. задачу 8009). Из равенства треугольников PMC_{1}
и AMA_{1}
следует, что PC_{1}=AA_{1}=CC_{1}
.
Пусть S
— площадь основания призмы, h
— высота призмы, V
— объём. Данная призма разбивается секущей плоскостью на два многогранника. Объём V_{1}
одного из них, содержащего точку C
, равен разности объёмов треугольных пирамид PABC
и PMNC_{1}
с общей вершиной P
. Меньшая из этих пирамид подобна большей с коэффициентом \frac{PC_{1}}{PC}=\frac{1}{2}
, значит,
V_{PMNC_{1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}V_{PABC}=\frac{1}{8}V_{PABC}.
Следовательно,
V_{1}=\frac{7}{8}V_{PABC}=\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}S\cdot2h=\frac{7}{12}Sh=\frac{7}{12}V=\frac{7}{12},
V-V_{1}=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}.