9522. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Объём пирамиды равен 1. Найдите объёмы частей, на которые пирамида разбивается плоскостью, проходящей через точку A
и середину ребра SC
параллельно прямой BD
.
Ответ. \frac{1}{3}
и \frac{2}{3}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра SC
. Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку A
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку A
параллельно BD
(см. задачу 8003).
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой l
с прямыми BC
и CD
соответственно, K
— точка пересечения прямых MP
и SB
, лежащих в плоскости BSC
, L
— точка пересечения прямых MQ
и SD
, лежащих в плоскости CSD
. Тогда сечение пирамиды плоскостью, о которой говорится в условии задачи, — четырёхугольник AKML
.
Заметим, что K
— точка пересечения медиан PM
и SB
треугольника CSP
, поэтому SK:SB=2:3
. Аналогично SL:SD=2:3
.
Плоскость BSD
разбивает данную пирамиду на две равновеликих треугольных пирамиды SABD
и SBCD
с общей вершиной S
. Секущая плоскость отсекает от пирамиды SABD
пирамиду SAKL
с объёмом
\frac{SK}{SB}\cdot\frac{SL}{SD}V_{SABD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{9}.
Секущая плоскость отсекает от пирамиды SBCD
пирамиду SKLM
с объёмом
\frac{SK}{SB}\cdot\frac{SL}{SD}\cdot\frac{SM}{SC}V_{SABD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{9}.
Значит, объём той части исходной пирамиды, которая содержит вершину S
равен сумме найденных объёмов, т. е. \frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}
. Тогда объём оставшейся части равен \frac{2}{3}
.