9531. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Все рёбра пирамиды равны, E
— середина бокового ребра SC
. Найдите угол между плоскостями ABE
и ABC
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Плоскости ABE
и CSD
проходят через параллельные прямые AB
, CD
и имеют общую точку E
, значит, они пересекаются по прямой l
, параллельной AB
(см. задачу 8004). Пусть прямая l
пересекает ребро SD
в точке F
. Тогда сечения пирамиды плоскостью ABE
— равнобедренная трапеция ABEF
с основаниями AB=1
, EF=\frac{1}{2}
и боковыми сторонами AE=BF=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Пусть EH
— высота трапеции ABEF
, O
— центр квадрата ABCD
, K
— ортогональная проекция точки E
на плоскость основания пирамиды. Тогда точка K
лежит на диагонали AC
основания CK=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC
, поэтому AK:KC=3:4
. По теореме о трёх перпендикулярах KH\perp AB
, значит, EHK
— линейный угол искомого двугранного угла.
Треугольник AKB
подобен треугольнику ALB
с коэффициентом \frac{AK}{AC}=\frac{3}{4}
, поэтому KH=\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}
. Из прямоугольного треугольника COS
находим, что
SO=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
поэтому EK=\frac{1}{2}SO=\frac{\sqrt{2}}{4}
. Следовательно,
\tg\angle EHK=\frac{EK}{KH}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3(д), с. 26