9532. Дан правильный тетраэдр ABCD
. Точки K
и M
— середины рёбер BD
и CD
соответственно. Найдите угол между плоскостями AKM
и ABC
.
Ответ. \arctg\frac{2\sqrt{2}}{5}
.
Решение. Пусть O
— центр грани ABC
, N
— точка пересечения медианы DL
грани BCD
со средней линией KM
, P
— ортогональная проекция точки N
на плоскость ABC
.
Плоскость, проведённая через прямую KM
и середину E
ребра AD
, параллельна плоскости ABC
, поэтому угол между плоскостями AKM
и ABC
равен углу между плоскостями AKM
и LKM
. Поскольку M
середина общего основания равнобедренных треугольников AKM
и EKM
, угол ANE
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями AKM
и EKM
. Заметим, что \angle ANE=\angle LAN
.
Точка P
лежит на отрезке OL
, причём
PL=\frac{1}{2}OL=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{12}.
Тогда
AP=AL-PL=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{12}.
Отрезок NP
— средняя линия треугольника DOL
, поэтому
NP=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040). Следовательно,
\tg\angle LAN=\tg\angle PAN=\frac{NP}{AP}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{5\sqrt{3}}{12}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}.