9537. Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD
плоскостью, проходящей через середины рёбер BC
, CD
и середину медианы DM
грани ABD
.
Решение. Пусть L
, N
и K
— середины рёбер соответственно BC
, CD
и медианы DM
грани ABD
. Поскольку LN
— средняя линия треугольника BCD
, прямая LN
параллельна прямой BD
, лежащей в плоскости ABD
. Значит, прямая LN
параллельна этой плоскости.
Плоскость LNK
проходит через прямую LN
, параллельную плоскости ABD
, и имеет с плоскостью ABD
общую точку K
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно BD
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекает рёбра AB
и AD
в точках P
и Q
соответственно. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник LNQP
с параллельными сторонами LN
и PQ
.
Примечание. Поскольку PK\parallel BD
и DK=KM
, то по теореме Фалеса BP=MP
. Следовательно,
DQ:QA=BP:PA=1:3.