9538. Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD
плоскостью, проходящей через точки K
, L
и M
, лежащие на рёбрах AD
, AB
и BC
соответственно, если AK:KD=BL:LA=BM:MC=1:2
.
Решение. Пусть прямые KL
и BD
, лежащие в плоскости ABD
, пересекаются в точке P
, а прямые PM
и BC
, лежащие в плоскости BCD
— в точке N
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник KLMN
.
Примечание. Из равенства
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=1,~\mbox{или}~\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{CN}{ND}=1
(см. задачу 9106) находим, что \frac{CN}{ND}=\frac{1}{2}
. Поскольку AL:LB=BM:MC
и CN:ND=AK:KD
, четырёхугольник KLMN
— трапеция с основаниями KN=2LM
.