9543. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
. Сторона основания ABCDEF
втрое меньше высоты SO
. Найдите угол между плоскостями BSC
и DSE
.
Ответ. \arccos\frac{5}{13}
.
Решение. Положим AB=a
, SO=3a
. Пусть M
— точка пересечения прямых BC
и DE
. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало точку O
и направив оси Ox
, Oy
и Oz
по лучам OM
, OB
и OS
соответственно. Выпишем координаты нужных нам точек: O(0;0;0)
, B(0;a;0)
, E(0;-a;0)
, M(a\sqrt{3};0;0)
и S(0;0;3a)
. Тогда уравнения плоскостей BSC
и DSE
можно записать в виде
\frac{x}{a\sqrt{3}}+\frac{y}{a}+\frac{z}{3a}=1,~\frac{x}{a\sqrt{3}}-\frac{y}{a}+\frac{z}{3a}=1
(см. задачу 7564), или
\sqrt{3}x+3y+z-3a=0,~\sqrt{3}x-3y+z-3a=0.
Косинус угла \varphi
между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормалей этих плоскостей, т. е.
\cos\varphi=\left|\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+3\cdot(-3)+1\cdot1}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}+1}\cdot\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}+1^{2}}}\right|=\frac{5}{13}.