9546. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Известно, что её высота относится к стороне основания как \sqrt{3}:2
. Найдите угол между плоскостью ASD
и прямой, проходящей через точку B
и середину ребра SD
.
Ответ. \arcsin\frac{2}{\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть высота SO
пирамиды равна 2\sqrt{3}
, сторона основания равна 4, P
— середина ребра SD
, M
и N
— середины рёбер AB
и AD
соответственно. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало точку O
и направив оси Ox
, Oy
и Oz
по лучам OM
, ON
и OS
соответственно. Найдём координаты следующих точек: N(0;2;0)
, S(0;0;2\sqrt{3})
, B(2;-2;0)
, P(-1;1;\sqrt{3})
. Тогда уравнение плоскости ASD
можно записать в виде \frac{y}{2}+\frac{z}{\sqrt{3}}=1
(см. задачу 7564), или y\sqrt{3}+z-2\sqrt{3}=0
, а в качестве направляющего вектора прямой BP
можно взять вектор \overrightarrow{PB}(2-(-1);-2-1;0-\sqrt{3})=\overrightarrow{PB}(3;-3;-\sqrt{3})
.
Если \varphi
— искомый угол, то \sin\varphi
равен модулю косинуса угла между вектором нормали плоскости ASD
(т. е. \overrightarrow{n}(0;\sqrt{3};1)
) и вектором \overrightarrow{PB}(3;-3;-\sqrt{3})
, т. е.
\sin\varphi=\frac{|0\cdot3+\sqrt{3}\cdot(-3)+1\cdot(-\sqrt{3})|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}\cdot\sqrt{3^{2}+3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — Пример 5, с. 103