9547. Боковое ребро правильной шестиугольная призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
равно стороне основания. Точка P
— середина ребра E_{1}F_{1}
. Найдите угол между прямой AE_{1}
и плоскостью CDP
.
Ответ. \arcsin\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{43}}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
соответственно, M
— середина ребра CD
. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало точку O
и направив оси Ox
, Oy
и Oz
по лучам OB
, OM
и OO_{1}
соответственно. Найдём координаты следующих точек: M\left(0;\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)
, P\left(-\frac{3}{4};-\frac{\sqrt{3}}{4};1\right)
, A\left(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)
, E_{1}(-1;0;1)
. Плоскость CDP
проходит через прямую CD
, параллельную оси Ox
, поэтому её уравнение можно записать в виде \frac{y}{OM}+\frac{z}{c}=1
(см. задачу 7564), или \frac{2y}{\sqrt{3}}+\frac{z}c=1
. Кроме того, координаты точки P
удовлетворяют этому уравнению, т. е. -\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{c}=1
. Отсюда находим, что c=\frac{2}{3}
. Таким образом, уравнение плоскости CDP
имеет вид \frac{2y}{\sqrt{3}}+\frac{3z}{2}=1
, или 4y+3z\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0
.
В качестве направляющего вектора прямой AE_{1}
можно взять вектор \overrightarrow{E_{1}A}\left(\frac{1}{2}-(-1);-\frac{\sqrt{3}}{2}-0;0-1\right)=\overrightarrow{E_{1}A}\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};-1\right)
.
Если \varphi
— искомый угол, то \sin\varphi
равен модулю косинуса угла между вектором нормали плоскости CDP
(т. е. \overrightarrow{n}(0;4;3\sqrt{3})
) и вектором \overrightarrow{E_{1}A}\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};-1\right)
, т. е.
\sin\varphi=\frac{\left|0\cdot\frac{3}{2}+4\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+3\sqrt{3}\cdot(-1)\right|}{\sqrt{4^{2}+(3\sqrt{3})^{2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+1^{2}}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{43}}.