9552. Каждый из четырёх шаров касается внешним образом двух из трёх других. Докажите, что четыре точки касания лежат на одной окружности.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{2}
, O_{4}
— центры шаров, A
— точка касания первого и второго шаров, B
— второго и третьего, C
— третьего и четвёртого, D
— четвёртого и первого.
Если центры всех шаров лежат в одной плоскости, то точки касания лежат в этой плоскости, а значит, на одной окружности (см. задачу 4792).
Докажем, что, например, точка D
лежит в плоскости, проходящей через A
, B
и C
. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
— расстояния от точек соответственно O_{1}
, O_{2}
, O_{2}
, O_{4}
до плоскости ABC
, а R_{1}
, R_{2}
, R_{2}
, R_{4}
соответственно — радиусы шаров. Тогда
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}},~\frac{h_{2}}{h_{3}}=\frac{R_{2}}{R_{3}},~\frac{h_{3}}{h_{4}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}.
Перемножая эти соотношения, получаем
\frac{h_{1}}{h_{4}}=\frac{R_{1}}{R_{4}}=\frac{O_{1}D}{O_{4}D}.
Пусть D'
— точка пересечения O_{1}O_{4}
с плоскостью ABC
. Тогда \frac{h_{1}}{h_{4}}=\frac{O_{1}D'}{O_{4}D'}
. Значит, D
совпадает с точкой D'
, лежащей в плоскости ABC
.
Таким образом, плоскость ABC
пересекает шары по трём кругам, касающимся в точках A
, B
, C
и D
так, как в задаче 4792. Следовательно, эти точки лежат на одной окружности.