9554. К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан. Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть ABCD
— данный тетраэдр, A'
, B'
, C'
, D'
— точки пересечения медиан граней BCD
, CDA
, DAB
, ABC
. Грани тетраэдра A'B'C'D'
параллельны соответственным граням исходного тетраэдра. Так, например, плоскость ABC
параллельна плоскости A'B'C'
и т. д. Действительно, пусть точки P
и Q
— середины рёбер AC
и AB
. Поскольку точка пересечения делит медианы в отношении 2:1
, то B'C'\parallel PQ
. Но PQ\parallel BC
как средняя линия, следовательно, B'C'\parallel BC
. Точно так же A'C'\parallel AC
, и по признаку параллельности плоскостей (см. задачу 8008) грани параллельны. Значит, перпендикуляры, восстановленные из точек A'
, B'
, C'
, D'
к соответствующим граням тетраэдра ABCD
, являются высотами тетраэдра A'B'C'D'
.
По теореме о трёх перпендикулярах их ортогональные проекции на плоскость грани являются высотами этой грани и, значит, пересекаются в одной точке. Следовательно, их проекции на параллельную плоскость ABC
также пересекаются в одной точке.