9565. В правильной пирамиде PABCD
расстояние от вершины P
до основания ABCD
равно половине ребра AB
. Сравните расстояния от вершин B
и C
от прямой PA
.
Ответ. Вершины B
и C
равноудалены от прямой PA
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр квадрата ABCD
.
В плоскости APC
из вершины C
проведём прямую, параллельную PO
и пересекающую прямую PA
в некоторой точке E
. Поскольку EC\parallel PO
, отрезок PO
— средняя линия треугольника ACE
, следовательно, AP=PE
и EC=2PO
. По условию AB=2PO
, значит равнобедренные треугольники APB
и CPE
равны по трём сторонам. Следовательно, их высоты BB'
и CC'
, проведённые к боковым сторонам, также равны.
Второй способ. Рассмотрим куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с центром P
. Тогда правильная четырёхугольная пирамида PABCD
удовлетворяет условию задачи. При этом перпендикуляр, опущенный из точки B
на прямую AP
, есть радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника A_{1}BD
(см. задачи 7300), а перпендикуляр, опущенный из точки C
на прямую AP
, есть радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника B_{1}D_{1}C
, равного треугольнику A_{1}BD
.
Источник: Московская математическая регата. — 2008-2009, 11 класс