9573. Все грани треугольной пирамиды SABC
— остроугольные треугольники, SX
и SY
— высоты граней ASB
и BSC
соответственно. Известно, что четырёхугольник AXYC
вписанный. Докажите, что прямые AC
и BS
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Пусть H
— ортогональная проекция вершины S
на плоскость ABC
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HX\perp AB
и HY\perp BC
(рис. 1).
Рассмотрим треугольник ABC
(рис. 2). Пусть \angle BAC=\alpha
. По условию четырёхугольник AXYC
вписанный, следовательно,
\angle BYX=\angle BAC=\alpha.
Кроме того,
\angle BXH=\angle BYH=90^{\circ},
поэтому четырёхугольник BXHY
также вписанный. Тогда
\angle ABH=\angle XYH=90^{\circ}-\alpha.
Таким образом,
\angle ABH+\angle BAC=90^{\circ}-\alpha+\alpha=90^{\circ}.
Значит, BH\perp AC
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах BS\perp AC
.
Второй способ. Проведём высоту AZ
в грани SAB
(рис. 3). Тогда точки A
, X
, Z
и S
лежат на одной окружности. По теореме об отрезках секущих (см. задачу 2636) BX\cdot BA=BZ\cdot BS
. По условию четырёхугольник AXYC
вписанный, следовательно, используя ту же теорему, получим, что BX\cdot BA=BY\cdot BC
. Из двух полученных равенств следует, что BZ\cdot BS=BY\cdot BC
. Это означает, что точки C
, Y
, Z
и S
также лежат на одной окружности (см. задачу 114), а так как \angle SYC=90^{\circ}
, то \angle CZS=90^{\circ}
. Таким образом, BS\perp ZA
и BS\perp ZC
. Значит, прямая BS
перпендикулярна плоскости AZC
, и поэтому BS\perp AC
.
Источник: Московская математическая регата. — 2016-2017, третий тур, № 2, 10 класс