9587. В пространстве дан треугольник ABC
и сферы S_1
и S_2
, каждая из которых проходит через точки A
, B
и C
. Для точек M
сферы S_{1}
, не лежащих в плоскости треугольника ABC
, проводятся прямые MA
, MB
и MC
, пересекающие сферу S_{2}
вторично в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных сфер. Докажем, что рассматриваемая плоскость касается сферы с центром O_{2}
или проходит через точку O_{2}
. Для этого достаточно доказать, что расстояние от точки O_{2}
до этой плоскости постоянно.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Пусть две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точках B
и C
, M
— точка первой окружности, прямые MB
и MC
пересекают вторую окружность в точках B_{1}
и C_{1}
(рис. 1). Тогда MO_{1}\perp B_{1}C_{1}
.
Доказательство. Пусть продолжение диаметра MN
первой окружности пересекает вторую окружность в точке L
. Тогда \angle MCN=90^{\circ}
, а так как ABCC_{1}
— вписанный четырёхугольник, то \angle MBC=\angle MC_{1}L
. Значит,
\angle C_{1}ML=\angle CMN=90^{\circ}-\angle MNC=90^{\circ}-\angle MBC=90^{\circ}-\angle MC_{1}L.
Следовательно, \angle MLC_{1}=90^{\circ}
, т. е. MO_{1}\perp B_{1}C_{1}
.
Лемма 2. В условиях первой леммы пусть O_{2}K\perp B_{1}C_{1}
. Тогда длина отрезка O_{2}K
не зависит от выбора точки M
. (Лемма верна и в случае, когда B_{1}C_{1}
проходит через O_{2}
.)
Доказательство. Заметим, что угол BMC
и дуга BC
первой окружности, не содержащая точки M
, постоянны, поэтому дуга B_{1}C_{1}
второй окружности, не содержащая точки B
, также постоянна (см. задачу 1438). Значит, постоянна и хорда B_{1}C_{1}
второй окружности. Следовательно, O_{2}K=\sqrt{O_{2}B_{1}^{2}-\left(\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\right)^{2}}=\mbox{const}
.
(Другие случаи расположения точки M
в леммах рассматриваются аналогично.)
Перейдём к решению задачи. Докажем, что MO_{1}
— высота пирамиды MA_{1}B_{1}C_{1}
, где A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки пересечения прямых MA
, MB
и MC
со второй сферой (рис. 2). Пусть O
— проекция точки O_{1}
на плоскость MB_{1}C_{1}
. Тогда O
— центр описанной окружности треугольника BMC
. По первой лемме MO\perp B_{1}C_{1}
. Прямая B_{1}C_{1}
перпендикулярна пересекающимся прямым O_{1}O
и OO_{1}
плоскости MO_{1}O
, значит, прямая B_{1}C_{1}
перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая MO_{1}
перпендикулярна прямой B_{1}C_{1}
.
Рассматривая аналогичную проекцию точки O_{1}
на плоскость MA_{1}B_{1}
, получим, что прямая MO_{1}
перпендикулярна A_{1}B_{1}
. Таким образом, прямая MO_{1}
перпендикулярна пересекающимся прямым B_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
. Значит, прямая MO_{1}
перпендикулярна этой плоскости, т. е. высота пирамиды лежит на прямой MO_{1}
. Следовательно, все плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
удалены от точки O_{2}
на равные расстояния. Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно применить инверсию в пространстве. Пусть точка M
фиксирована. Докажем, что конус с вершиной в точке M
, проходящий через окружность пересечения двух сфер, пересекает вторую сферу также по окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке M
относительно сферы с радиусом, квадрат которого равен модулю степени точки M
относительно второй сферы. (Для точек, лежащих внутри второй сферы, надо предварительно рассмотреть симметрию относительно точки M
.) Поскольку первая сфера содержит центр инверсии, то она переходит в плоскость. Точки, лежащие на окружности пересечения, перейдут в точки, лежащие на второй сфере, следовательно, они все лежат в одной плоскости. Заметим, что из симметрии относительно плоскости MO_{1}O_{2}
эта плоскость перпендикулярна плоскости окружности, что и требовалось.
Рассмотрим сечение MO_{1}O_{2}
. Оно проходит через центры сфер, т. е. пересекает их по большим окружностям (поэтому для любого расположения точки M
эти пары окружностей совмещаются поворотом вокруг оси O_{1}O_{2}
). Кроме того, это сечение перпендикулярно плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{2}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда прямая O_{2}K
перпендикулярна плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, O_{2}K
лежит в плоскости MO_{1}O_{2}
. Значит, по второй лемме O_{2}K=\mbox{const}
.
Также можно было рассматривать «движение» точки M
по «параллелям» и «меридианам» первой сферы.