1438. Две окружности пересекаются в точках M
и N
. На дуге первой окружности, расположенной вне второй окружности, взята точка A
. Продолжения хорд AM
и AN
первой окружности пересекают вторую окружность в точках B
и C
. Докажите, что длина отрезка BC
не зависит от положения точки A
на указанной дуге.
Указание. Если угловые величины дуг, заключённых между двумя хордами, продолжения которых пересекаются вне круга, равны \alpha
и \beta
(\alpha\gt\beta
), то продолжения хорд пересекаются под углом \frac{\alpha-\beta}{2}
.
Решение. Пусть угловая величина не содержащей точки M
дуги BC
второй окружности равна \alpha
, а угловая величина не содержащей точки B
дуги той же окружности равна \beta
. Тогда
\angle MAN=\angle BAC=\frac{\alpha-\beta}{2}
(см. задачу 27), откуда
\alpha=2\angle MAN+\beta.
Поскольку \angle MAN
и \beta
не зависят от положения точки A
на указанной в условии дуге первой окружности, угловая величина \alpha
также не зависит от положения точки A
. Следовательно, длина стягивающей её хорды BC
одна и та же при любом указанном положении точки A
(см. задачу 805).
Источник: Хонсбергер Р. Математические изюминки. — М.: Наука, 1992. — Задача 50, с. 88