1438. Две окружности пересекаются в точках
M
и
N
. На дуге первой окружности, расположенной вне второй окружности, взята точка
A
. Продолжения хорд
AM
и
AN
первой окружности пересекают вторую окружность в точках
B
и
C
. Докажите, что длина отрезка
BC
не зависит от положения точки
A
на указанной дуге.
Указание. Если угловые величины дуг, заключённых между двумя хордами, продолжения которых пересекаются вне круга, равны
\alpha
и
\beta
(
\alpha\gt\beta
), то продолжения хорд пересекаются под углом
\frac{\alpha-\beta}{2}
.
Решение. Пусть угловая величина не содержащей точки
M
дуги
BC
второй окружности равна
\alpha
, а угловая величина не содержащей точки
B
дуги
MN
той же окружности равна
\beta
. Тогда
\angle MAN=\angle BAC=\frac{\alpha-\beta}{2}

(см. задачу 27), откуда
\alpha=2\angle MAN+\beta.

Поскольку
\angle MAN
и
\beta
не зависят от положения точки
A
на указанной в условии дуге первой окружности, угловая величина вписанного угла
BMC
, равного
\frac{\alpha}{2}
также не зависит от положения точки
A
. Следовательно, длина стягивающей её хорды
BC
одна и та же при любом указанном положении точки
A
(см. задачу 805).
Источник: Хонсбергер Р. Математические изюминки. — М.: Наука, 1992. — Задача 50, с. 88
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2004, задача 2, вариант T1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 111, задача 2, вариант T1.1