9592. Основанием прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
является прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом C
, а боковая грань ACC_{1}A_{1}
является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA_{1}
и AB_{1}
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA_{1}
и AB_{1}
, если AC=1
и BC=4
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. а) Прямая B_{1}C_{1}
перпендикулярна плоскости ACA_{1}
, так как B_{1}C_{1}\perp A_{1}C_{1}
и B_{1}C_{1}\perp CC_{1}
. Значит, AC_{1}
— ортогональная проекция наклонной AB_{1}
на эту плоскость. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому AC_{1}\perp CA_{1}
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах CA_{1}\perp AB_{1}
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
квадрата AA_{1}C_{1}C
на прямую AB_{1}
. Прямая CA_{1}
перпендикулярна плоскости AC_{1}B_{1}
, так как CA_{1}\perp AC_{1}
и CA_{1}\perp B_{1}C_{1}
. Значит, OH\perp AC_{1}
, и OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CA_{1}
и AB_{1}
. Тогда расстояние между эти прямыми равно длине отрезка OH
, т. е. половине высоты C_{1}P
прямоугольного треугольника AC_{1}B_{1}
, опущенной из вершины прямого угла. Из прямоугольных треугольников ACC_{1}
и AC_{1}B_{1}
находим, что
AC_{1}=\sqrt{2},~AB_{1}=\sqrt{AC_{1}^{2}+B_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{2+16}=3\sqrt{2},
поэтому
C_{1}P=\frac{AC_{1}\cdot B_{1}C_{1}}{AB_{1}}=\frac{\sqrt{2}\cdot4}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}
(см. задачу 1967). Следовательно, OH=\frac{2}{3}
.
