9599. На сфере \omega_{1}
отмечена фиксированная точка A
, а на сфере \omega_{2}
— фиксированная точка B
. На сфере \omega_{1}
выбирается переменная точка X
, а на сфере \omega_{2}
— переменная точка Y
так, что AX\parallel BY
. Докажите, что середины всех построенных таким образом отрезков XY
лежат на одной сфере.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры сфер \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Отметим (фиксированные) середины S
и K
отрезков O_{1}O_{2}
и AB
соответственно, а также (переменные) середины L
, M
и N
отрезков BY
, XY
и AX
соответственно. Отрезки AX
и BY
параллельны, поэтому отрезок KM
также им параллелен. Как известно, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204), поэтому отрезки KM
и LN
имеют общую середину T
.
Проведём плоскость \alpha
через точку T
перпендикулярно AX
. Поскольку KM\parallel AX
, все точки этой плоскости равноудалены от точек K
и M
(см. задачу 8171), а так как T
— середина LN
, точки L
и N
равноудалены от плоскости \alpha
и лежат по разные стороны от неё (либо обе лежат в плоскости \alpha
). Отрезки O_{1}N
и O_{2}L
перпендикулярны AX
, поэтому они параллельны плоскости \alpha
. Тогда точки O_{1}
и O_{2}
(как и точки L
и N
) лежат по разные стороны от плоскости \alpha
и также равноудалены от неё. Значит, середина S
отрезка O_{1}O_{2}
лежит в этой плоскости. Тогда SK=SM
.
Таким образом, если точки S
и K
не совпадают, то середина M
отрезка XY
лежит на сфере с центром в точке S
и радиусом, равным длине отрезка SK
. Если же точки S
и K
совпадают, то точка S
совпадает с M
, и середины всех отрезков XY
совпадают. В этом случае условию удовлетворяет любая сфера, проходящая через точку S
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, региональный этап, № 5, 11 класс, второй день