9628. (Формула Симпсона.) Дан выпуклый многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях. Докажите, что его объём можно вычислить по формуле
V=\frac{h}{6}(S_{1}+S_{2}+4S),
где S_{1}
— площадь грани, расположенной в одной плоскости, S_{2}
— площадь грани, расположенной в другой плоскости, S
— площадь сечения многогранника плоскостью, равноудалённой от двух данных, а h
— расстояние между данными плоскостями.
Решение. Докажем эту формулу для тетраэдра. Если три вершины A
, B
и C
тетраэдра ABCD
лежат в одной плоскости, а вершина D
— в другой, параллельной первой. Тогда, если высота тетраэдра, опущенная из вершины D
равна h
, а S_{\triangle ABC}=S
, то
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{h}{6}\cdot2S=\frac{h}{6}\left(0+S+4\cdot\frac{S}{4}\right).
Что и требовалось доказать.
Если вершины A
и B
лежат в одной из двух параллельных плоскостей, вершины C
и D
— в другой, а AB=a
, BC=b
, угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
, а расстояние между плоскостями равно h
, то по формуле из задачи 7234
V_{ABCD}=\frac{1}{6}abh\sin\alpha=\frac{h}{6}(0+0+4\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}\sin\alpha).
Что и требовалось доказать.
Примем без доказательства следующее утверждение. Любой выпуклый многогранник можно разбить на тетраэдры. Тогда, применив к каждому из этих тетраэдров доказанную формулу, получим, что она верна для любого многогранника рассматриваемого вида.