9634. Через точку, расположенную на расстоянии d
от центра сферы радиуса R
(R\gt d
), проведены три попарно перпендикулярные хорды AD
, BE
и CF
. Докажите, что
AD^{2}+BE^{2}+CF^{2}=12R^{2}-8d^{2}.
Решение. Пусть P
— точка пересечения хорд, O
— центр сферы, R_{1}
— радиус окружности сечения сферы плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые AD
и BE
, а O_{1}
— центр этой окружности. Тогда
AD^{2}+BE^{2}=8R_{1}^{2}-4O_{1}P^{2}
(см. задачу 423), а из прямоугольного треугольника OO_{1}P
получаем, что
O_{1}P^{2}=OP^{2}-OO_{1}^{2}=d^{2}-OO_{1}^{2}.
Аналогично определим R_{2}
и O_{2}
для сечения сферы плоскостью, проходящей через хорды AD
и CF
, а также R_{3}
и O_{3}
, и получим равенства
AD^{2}+CF^{2}=8R_{2}^{2}-4O_{2}P^{2},~CF^{2}+BE^{2}=8R_{3}^{2}-4O_{3}P^{2},
O_{2}P^{2}=d^{2}-OO_{2}^{2},~O_{3}P^{2}=d^{2}-O_{3}P_{2}^{2}.
Тогда, учитывая, что
OO_{1}^{2}+OO_{2}^{2}+OO_{3}^{2}=OP^{2}=d^{2},
O_{1}P^{2}+O_{2}P^{2}+O_{3}P^{2}=d^{2}-OO_{1}^{2}+d^{2}-OO_{2}^{2}+d^{2}-OO_{3}^{2}=
=3d^{2}-d^{2}=2d^{2},
R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=R^{2}-OO_{1}^{2}+R^{2}-OO_{2}^{2}+R^{2}-OO_{3}^{2}=3R^{2}-d^{2},
получим, что
AD^{2}+BE^{2}+CF^{2}=\frac{1}{2}(8R_{1}^{2}-4O_{1}P^{2}+8R_{2}^{2}-4O_{2}P^{2}+8R_{3}^{2}-4O_{3}P^{2})=
=4(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2})-2(O_{1}P^{2}+O_{2}P^{2}+O_{3}P^{2})=
=4(3R^{2}-d^{2})-2\cdot2d^{2}=12R^{2}-8d^{2}.