9635. Через точку P
лежащую внутри сферы, проведены три попарно перпендикулярные хорды AD
, BE
и CF
. Докажите, что прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно плоскости ABC
, проходит через точку пересечения медиан треугольника DEF
.
Решение. Пусть H
— ортогональная проекция точки P
на плоскость ABC
, а H_{1}
— ортогональная проекция точки H
на плоскость пересекающихся прямых AD
и BE
, L
— точка пересечения прямых AB
и CH_{1}
. Прямая AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CP
и PH
плоскости CPH
, поэтому AB
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, AB\perp PL
.
Пусть прямая PL
пересекает хорду DE
в точке F_{1}
. Тогда F_{1}
— середина DE
(см. задачу 369). Следовательно, FF_{1}
— медиана треугольника DEF
.
Прямые PH
и FF_{1}
лежат в плоскости пересекающихся прямых CF
и LF_{1}
и не параллельны. Значит, они пересекаются в некоторой точке X
. Тогда X
— это точка пересечения прямой PH
с плоскостью DEF
. Таким образом, точка пересечения прямой PH
с плоскостью DEF
лежит на медиане FF_{1}
треугольника DEF
. Аналогично, эта точка лежит на остальных медианах треугольника. Следовательно, X
— точка пересечения медиан треугольника DEF
. Что и требовалось доказать.